Spanning Tree

Spanning Tree Protocol disingkat menjadi STP, Merupakan bagian dari standard IEEE 802.1 untuk kontrol media akses. Berfungsi sebagai protocol untuk pengaturan koneksi dengan menggunakan algoritma spanning tree.

Kelebihan STP dapat menyediakan system jalur backup & juga mencegah loop yang tidak diinginkan pada jaringan yang memiliki beberapa jalur menuju ke satu tujuan dari satu host.

Loop terjadi bila ada route/jalur alternative diantara host-host. Untuk menyiapkan jalur back up, STP membuat status jalur back up menjadi stand by atau diblock. STP hanya membolehkan satu jalur yang active (fungsi pencegahan loop) diantara dua host namun menyiapkan jalur back up bila jalur utama terputus.

Bila "cost" STP berubah atau ada jalur yang terputus, algoritma spanning tree merubah topology spanning tree dan mengaktifkan jalur yang sebelumnya stand by.

Tanpa spanning tree pun sebenarnya memungkinkan koneksi antara dua host melewati beberapa jalur sekaligus namun dapat juga membuat looping yang tidak pernah akan selesai di dalam jaringan anda. Yang pasti akan menghabiskan kapasitas jalur yang ada hanya untuk melewatkan packet data yang sama secara berulang dan berlipat ganda.

Contoh :
Pandang sebuah graph sebagai berikut;



Soal diatas dapat dijawab dengan menggunakan Algoritma Kruskall seperti ditunjukkan dibawah ini :.
Edge Cost
1. ( 1,2 ) 10
2. ( 3,6 ) 15
3. ( 4,6 ) 20
4. ( 2,6 ) 25
5. ( 1,4 ) 30
6. ( 3,5 ) 35

Maka Spanning Tree- nya adalah




Sehingga total costnya ialah 105


Soal : Buatlah Minimum Spanning Tree + Total Cost !!




jawab :
Gunakan Algoritma Kruskall
Edge Cost
1. ( C,D ) 2
2. ( A,F ) 4
3. ( C,E ) 4
4. ( B,C ) 5
5. ( A,C ) 6

Maka Spanning Tree-nya adalah :



Sehingga Total Costnya adalah 21

referensi : http://id.wikipedia.org/wiki/Spanning_Tree_Protocol

Teknik Searching

Searching adalah satu ketrampilan penting yang harus dikuasai oleh siapapun yang senantiasa bersinggungan dengan dunia IT. Dengan ketrampilan yang satu ini, maka pada prinsipnya apapun yang kita inginkan dari  dunia maya bisa kita dapatkan. Hanya saja ketrampilan ini tidak banyak diperhatikan oleh setiap orang. Khususnya lagi oleh para mahasiswa.
Contoh yang diambil adalah menggunakan Google, karena harus diakui Google merupakan search engine yang paling banyak dipakai oleh pengguna internet. Beragam informasi dapat kita cari secara cepat dengan menggunakan google. Untuk mengoptimalkan hasil pencarian, google menyediakan beberapa option:
· Google tidak "case sensitive". Maka bila kita memasukkan Keyword: MODULASI, akan banyak hal-hal yang berhuungan dengan keyword tersebut.
· Menggunakan kata hubung  AND dan OR.  Secara Default Google menggunakan keyword and. Maka keyword: orang yogya sebenarnya sama dengan keyword : ‘orang’ AND ‘yogya’. Sementara kata hubung OR akan digunakan untuk menemukan halaman yang setidaknya berisi salah satu dari keyword.
· Google umumnya  akan mengabaikan pencarian dengan kata-kata umum seperti "how" dan "where".  Maka jika kata-kata umum ini begitu penting,  bisa ditambahkan dengan "+". Contohnya, Keyword: Blog +how ==> Kata "how" akan diikutsertakan.
· Bila tidak semua informasi ingin ditampilkan, maka bisa digunakan tanda minus "-" untuk mengecualikan kata tertentu dalam pencarian. Misal keywordnya : mudulasi – FM, maka akan menghasilkan pencarian tentang mudulasi tanpa melibatkan kata FM dalam hasilnya.
o Menyortir dokumen hasil pencarian berdasar tipe filenya, gunakan perintah filetype : ekstensi file, contohnya : informatika filetype:pdf.
· inurl: Option ini digunakan untuk mencari kata tertentu yang "masuk" sebagai url. Dengan option ini Anda dapat melakukan pencarian pada pencarian folder tertentu (jika dikombinasikan dengan option "index of").
Contoh:
inurl:admin -> pencarian ini menghasilkan url website yang mempunyai kata "admin"
· site: Option ini secara spesifik digunakan untuk melakukan pencarian pada situs tertentu. Contoh:
site:torry.net "xp style" –> mencari dengan keyword "xp style" pada situs www.torry.net
· intitle: Option ini digunakan untuk mencari kata tertentu yang terdapat pada title dari halaman web.
· link: Option ini digunakan untuk mengetahui situs mana saja yang nge-link ke situs tertentu.
Contoh: link:delphi3000.com –> mencari situs yang mempunyai link ke www.delphi3000.com
sumber :
· http://www.klik-kanan.com/fokus/tips-google.shtml
· http://ridwan.or.id/?pilih=news&mod=yes&aksi=lihat&id=178

Teknik Sorting

Dalam penyelesaian suatu masalah pasti terdapat banyak cara atau solusi-solusi yang dapat dilakukan, seperti halnya pembuatan program memiliki banyak tehnik atau algoritma yang dapat di gunakan salah satunya untuk kebutuhan SORTING atau PENGURUTAN kumpulan data-data. terdapat 4 algoritma atau tehnik dalam melakukan sorting.

Straight Selection Sort. teknik sorting ini dibuat dengan cara melakukan pengecek'an 1 persatu, bila kita akan mengurutkan secara ascending maka kita lakukan pengecek'an nilai tempat yang pertama (index pertama pada array) bila lebih kecil daripada index berikutnya (index 1 dengan index 2, index 1 dengan index 3, ..... index 1 dengan index terakhi) maka kita lakukan pertukaran nilai pada array index tersebut. proses ini dilakukan terus menerus sampai pada pengecekan index terakhir - 1 dengan nidex terakhir. listing program (open in Inrternet eplorer only)

Selection Sort.Teknik sorting ini dibuat dengan cara melakukan pengecek'an 1 persatu, bila kita akan mengurutkan secara ascending maka kita lakukan pengecek'an nilai tempat yang pertama (index pertama pada array)kita bandingkan dengan semua nilai yang ada kita cari nilai minimalnya. lalu simpan index/ letak nilai minimum itu di temukan, setelah pengecekan selesai tukar index awal pengecekan dengan nilai minimum yang telah di simpan tadi. Proses ini dilakukan terus menerus sampai pada pengecekan index terakhir min 1 dengan index terakhir. beda dengan streith selection sort adalah dengan teknik ini melakukan pertukaran nilai lebih sedikit, hanya jumlah data - 1 pertukaran. jadi waktu untuk melakukan proses sorting lebih cepat.listing program (open in Inrternet eplorer only)

Bubble Sort. Teknik ini dilakukan degan pola membawa nilai terbesar menjadi nilai index terakhir array. jadi sistem ini melakukan pengecekan nilai 1 dengan 2, lalu 2 dengan 3 samapai dengan data terakhir, bila nilai index yang lebih kecil lebih besar maka akan dilakukan pertukaran. proses ini dilakuan hingga jumlah data - 1. listing program (open in Inrternet eplorer only)

Modified Bubble Sort. Teknik ini dilakukan degan pola membawa nilai terbesar menjadi nilai index terakhir array. Jadi sistem ini melakukan pengecekan nilai 1 dengan 2, lalu 2 dengan 3 samapai dengan data terakhir, bila nilai index yang lebih kecil lebih besar maka akan dilakukan pertukaran. proses ini dilakuan hingga jumlah data dikurangi 1 atau sampai program tidak melakukan pertukaran. jadi waktu untuk melakukan proses sorting lebih cepat.

referensi : http://alpro.awardspace.com/tehnik.html

Struktur Data

Dalam istilah ilmu komputer, sebuah struktur data adalah cara penyimpanan, penyusunan dan pengaturan data di dalam media penyimpanan komputer sehingga data tersebut dapat digunakan secara efisien.
Dalam teknik pemrograman, struktur data berarti tata letak data yang berisi kolom-kolom data, baik itu kolom yang tampak oleh pengguna (user) atau pun kolom yang hanya digunakan untuk keperluan pemrograman yang tidak tampak oleh pengguna. Setiap baris dari kumpulan kolom-kolom tersebut dinamakan catatan (record). Lebar kolom untuk data dapat berubah dan bervariasi. Ada kolom yang lebarnya berubah secara dinamis sesuai masukan dari pengguna, dan juga ada kolom yang lebarnya tetap. Dengan sifatnya ini, sebuah struktur data dapat diterapkan untuk pengolahan database (misalnya untuk keperluan data keuangan) atau untuk pengolah kata (word processor) yang kolomnya berubah secara dinamis. Contoh struktur data dapat dilihat pada berkas-berkas lembar-sebar (spreadsheet), pangkal-data (database), pengolahan kata, citra yang dipampat (dikompres), juga pemampatan berkas dengan teknik tertentu yang memanfaatkan struktur data. Adapun daftar struktur data secara umum adalah sebagai berikut :
1.Array (Larik)
Set item data yang disusun secara baik menjadi rangkaian dan diacu atau ditunjuk oleh satu identifier
Contoh : Nilai = (56 42 89 65 48)
Item data individual dalam array bisa ditunjuk secara terpisah dengan menyatakan posisinya dalam array itu
– Nilai(1) menunjuk 56
– Nilai(2) menunjuk 42
Bilangan yang ditulis dalam tanda kurung menandakan posisi item individual dalam array (disebut juga subscript / indeks)
Array (Larik) [2]
Variabel bisa digunakan sebagai subscript, misalnya Nilai(i).
– Jika i = 2 maka menunjuk ke Nilai(2) yaitu 42
– Jika i = 4 maka menunjuk ke Nilai(4) yaitu 65
Item data individual dalam suatu array sering disebut elemen
Matriks
– Array yang hanya berisi bilangan dan tidak ada data alfabetisnya
Klasifikasi Array
– Array 1 dimensi
– Array multi dimensi
2.String
Rangkaian karakter yang ditangani sebagai unit data tunggal
Contoh (string literal) :
– “ABC, 32fl2. 3h”
– “Kucing dalam karung”
Contoh (variabel string) :
– A = “Universitas”
– B = “Gunadarma”
Berada dalam bentuk array karakter 1 dimensi
String [2]
Fixed-length string (String yang panjangnya tetap)

– Mempunyai jumlah tempat karakter yang tetap yang tersedia (bisa digunakan) untuk penyimpanan data
Variable-length string (String yang panjangnya berubah-ubah)
– Memberi data sejumlah spasi (ruang) sesuai yang ia perlukan
Fixed-length string



Variable-length string



Deklarasi String
Fixed-length string
Variables
nama : string[5]

Variable-length string
Variables
nama : string
Operasi pada String
Concatenation
– Penggabungan dua atau lebih string
– Contoh :
A = “Universitas”
B = “Gunadarma”
C = A + B
maka
C = “UniversitasGunadarma”
3.Record
Seperti array 1 dimensi
Terdiri dari serangkaian item data yang terkait
Item data berurutan yang ada dalam record bisa mempunyai jenis yang berbeda
Contoh : Mengorganisasikan 3 item data yang berbeda ke dalam struktur data tunggal
– NIP : string(8)
– Nilai : real
– Lulus : boolean
Deklarasi Record
mahasiswa : record
NIP : string(8)
Nilai : real
Lulus : boolean
end record
Setiap elemen memiliki identifier sendiri
Elemen dari suatu record disebut field
Penunjukan ke setiap field dari suatu record bisa dilakukan dengan :
Notasi “dot” (titik)
Begin
mahasiswa.NPM := ‘51292215’
mahasiswa.Nilai := 90.5
mahasiswa.Lulus := True
End

Notasi “with”
Begin
with mahasiswa
do
NPM := ‘51292215’
Nilai := 90.5
Lulus := True
end with
End

4.List
Memberikan cara yang fleksibel untuk penanganan item data secara urut
Perubahan terhadap urutan tersebut dapat dicapai (dilakukan) dengan perpindahan data yang minimal dan kehilangan ruang penyimpanan yang sedikit
Beberapa istilah
– Datum : item data dalam list
– Pointer : penunjuk yang menyambungkan item data satu dengan yang lain
– Node / elemen : elemen dari suatu list yang terbentuk dari datum dan pointer
– Terminator : pointer terakhir dari list
– Start pointer : menyatakan tempat datum pertama
– Free storage pointer : menyatakan di mana datum berikutnya bisa mengarah atau menuju
5.Tree
Struktur data hirarki
Dikonstruksi menggunakan aturan preseden untuk item data, misal : menggunakan rangkaian alfabet atau numerik
Beberapa Istilah :
– Node : elemen dari suatu tree
• Setiap node memiliki (sedikitnya) dua pointer yaitu left pointer dan right pointer
– Root node : datum pertama yang ditempatkan dalam tree
– Parent node : node yang memiliki node di bawahnya (sub-node)
– Child node : node yang berada di bawah parent
– Leaf node : node yang tidak mempunyai child
Contoh : bilangan-bilangan ini (56 42 89 65 48) ditempatkan ke dalam tree



Catatan :
– Node paling kiri berisi bilangan terkecil
– Node paling kanan berisi bilangan terbesar

referensi : openstorage.gunadarma.ac.id/handouts/D3_TK/PDE/
http://id.wikipedia.org/wiki/Struktur_data

Bahasa pemograman

Bahasa pemrograman, atau sering diistilahkan juga dengan bahasa komputer, adalah teknik komando/instruksi standar untuk memerintah komputer. Bahasa pemrograman ini merupakan suatu set aturan sintaks dan semantik yang dipakai untuk mendefinisikan program komputer. Bahasa ini memungkinkan seorang programmer dapat menentukan secara persis data mana yang akan diolah oleh komputer, bagaimana data ini akan disimpan/diteruskan, dan jenis langkah apa secara persis yang akan diambil dalam berbagai situasi.
Bahasa Pemrograman merupakan notasi yang dipergunakan untuk mendeskripsikan proses komputasi dalam format yang dapat dibaca oleh komputer dan manusia. Proses komputasi umumnya didefinisikan secara formal menggunakan konsep matematika dari Mesin Turing. Pada dasarnya bahasa Pemrograman dirancang untuk memfasilitasi komunikasi antara manusia dengan komputer
Sebuah bahasa pemrograman disebut Turing Complete jika dapat dipergunakan untuk mendeskripsikan semua komputasi yang dapat dilakukan Mesin Turing, yaitu memiliki variable integer dan operator aritmatik, pernyataan penugasan, pernyataan sekuensial, pernyataan seleksi, dan pernyataan iterasi
SecaraUmum terdapat 4 kelompok bahasa pemrograman yaitu :
1. Object Oriented Language (Visual dBase, Visual FoxPro, Dephi, Visual C)
2. high level (Seperti Pascal dan Basic),
3. middle level (Seperti Bahasa C), dan
4. low level (Seperti Bahasa Assembly).

a.Delphi
adalah sebuah bahasa pemrograman dan lingkungan pengembangan perangkat lunak. Produk ini dikembangkan oleh CodeGear sebagai divisi pengembangan perangkat lunak milik Embarcadero, divisi tersebut sebelumnya adalah milik Borland. Bahasa Delphi, atau dikenal pula sebagai object pascal (pascal dengan ekstensi pemrograman berorientasi objek (PBO/OOP)) pada mulanya ditujukan hanya untuk Microsoft Windows, namun saat ini telah mampu digunakan untuk mengembangkan aplikasi untuk Linux dan Microsoft .NET framework. Dengan menggunakan Free Pascal yang merupakan proyek opensource, bahasa ini dapat pula digunakan untuk membuat program yang berjalan di sistem operasi Mac OS X dan Windows CE
Delphi terdapat 2 macam struktur yaitu struktur projrk dan struktur unit program Delphi.
Struktur Projek
Pada suatu projek yang anada bangun, terdapat sebuah file program utama yang berisi kode program untuk pengelolaan unit – unit. Kode program utama ini biasa juga disebut kode projek dan disimpan dalam file berekstensi .DPR.

Struktur Unit
Sebuah unit berisitipe-tipe, konstanmta-konstanta, variabel dan rutin (fungsi dari prosedur). Setiap unit didefinisikan dalaqm file .PAS yang menangani unit tersebut.

Kelebihan :
1). Sifatnya freeware
2). Dikembangkan dengan bahasa Pascal, sehingga pagi pengguna yang terbiasa dengan dasar pemrograman turbo Pascal akan lebih familiar.
3). Komponen yang disediakan sudah cukup lengkap tanpa harus add component dari sumber lain.
4). Dokumentasi cukup lengkap.

Kelemahan :
1). Pengguna yang tidak memiliki dasar pemrograman dengan bahasa Pascal akan mengalami kesulitan untuk pertama kalinya.
2). Setiap komponen yang dimasukkan dalam form tampilan, akan diikutsertakan kode deklarasi dan inisialisasinya dalam list code. Sehingga apabila terjadi perubahan komponen, penamaan maupun kesalahan penulisan kode, program tidak mau membetulkan otomatis.
3). Apabila terdapat form/list code lain yang di-include-kan, harus dituliskan code/nama dari form/lost code di bagian “uses” dan juga inisialisasi variablenya.


b.Bahasa C
merupakan salah satu bahasa pemrograman komputer. Dibuat pada tahun 1972 oleh Dennis Ritchie untuk Sistem Operasi Unix di Bell Telephone Laboratories.
Meskipun C dibuat untuk memprogram sistem dan jaringan komputer namun bahasa ini juga sering digunakan dalam mengembangkan software aplikasi. C juga banyak dipakai oleh berbagai jenis platform sistem operasi dan arsitektur komputer, bahkan terdapat beberepa compiler yang sangat populer telah tersedia. C secara luar biasa mempengaruhi bahasa populer lainnya, terutama C++ yang merupakan extensi dari C.
Kelebihan Bahasa C :
Beberapa alasan mengapa bahasa C banyak digunakan, diantaranya adalah sebagai berikut :
1. Bahasa C tersedia hampir di semua jenis komputer
2. Kode bahasa C sifatnya adalah portabel aplikasi yang ditulis dengan bahasa C untuk suatu komputer tertentu dapat digunakan di komputer lain hanya dengan sedikit modifikasi.
3. Bahasa C hanya menyediakan sedikit kata-kata kunci
4. Proses executable program bahasa C lebih cepat
5. Dukungan pustaka yang banyak keandalan bahasa C dicapai dengan adanya fungsi-fungsi pustaka.
6. C adalah bahasa yang terstruktur Bahasa C mempunyai struktur yang baik sehingga mudah untuk dipahami. C mempunyai fungsi-fungsi sebagai program bagiannya.
7. Selain bahasa tingkat tinggi, C juga dianggap sebagai bahasa tingkat menengah.
Bahasa C mampu menggabungkan kemampuan bahasa tingkat tingkat tinggi dengan bahasa tingkat tingkat rendah.
8. Bahasa C adalah kompiler karena C sifatnya adalah kompiler, maka akan menghasilkan executable program yang banyak dibutuhkan oleh program-program komersial.
Selain alasan tersebut ada beberapa alasan lain mengapa menggunakan bahasa C, yaitu:
a. C adalah bahasa pemrograman yang memiliki portabilitas tinggi.
Program C yang kita tulis untuk satu jenis platform, bisa kita kompile dan jalankan di platform lain dengan tanpa ataupun hanya sedikit perubahan. Ini bisa diwujudkan dengan adanya standarisasi ANSI untuk C.
b. C adalah bahasa pemrograman dengan kata kunci (keyword) sedikit.
Kata kunci disini adalah merupakan fungsi ataupun kata dasar yang disediakan oleh kompiler suatu bahasa pemrograman. Hal ini membawa pengaruh semakin mudahnya kita menulis program dengan bahasa tingkat rendah. Pengaruh lain dari sedikitnya kata kunci ini adalah proses eksekusi program C yang sangat cepat.

Adapun kekurangan yang biasa di Bahasa C antara lain :
1. Banyaknya Operator serta fleksibilitas penulisan program kadang-kadang membingungkan pemakai.
2. Bagi pemula pada umumnya akan kesulitan menggunakan pointer.

c.Visual Basic
merupakan sebuah bahasa pemrograman yang bersifat event driven dan menawarkan Integrated Development Environment (IDE) visual untuk membuat program aplikasi berbasis sistem operasi Microsoft Windows dengan menggunakan model pemrograman Common Object Model (COM). Visual Basic merupakan turunan bahasa BASIC dan menawarkan pengembangan aplikasi komputer berbasis grafik dengan cepat, akses ke basis data menggunakan Data Access Objects (DAO), Remote Data Objects (RDO), atau ActiveX Data Object (ADO), serta menawarkan pembuatan kontrol ActiveX dan objek ActiveX. Beberapa bahasa skrip seperti Visual Basic for Applications (VBA) dan Visual Basic Scripting Edition (VBScript), mirip seperti halnya Visual Basic, tetapi cara kerjanya yang berbeda.
Para programmer dapat membangun aplikasi dengan menggunakan komponen-komponen yang disediakan oleh Microsoft Visual Basic Program-program yang ditulis dengan Visual Basic juga dapat menggunakan Windows API, tapi membutuhkan deklarasi fungsi eksternal tambahan.

Keuntungan Visual basic:
- Bahasa yang sederhana. Banyak hal yang mungkin sulit dilakukan jika kita menggunakan bahasa pemrograman lainnya, akan dapat dilakukan dengan mudah dengan menggunakan Visual basic.
- Karena Visual basic sangat populer, maka sangat banyak sumber-sumber yang dapat kita gunakan untuk belajar dan mengembangkan kemampuan kau baik berupa buku, web site dll
- Kita bisa memperoleh banyak tools baik gratis maupun tidak di Internet yang akan sangat membantu menghemat waktu kita dalam pemrograman.

Kekurangan Visual basic:
- Visual Basic adalah bahasa pemrograman yang powerful, tetapi sebenarnya tidak terlalu bagus untuk membuat game-game yang benar-benar memuaskan.
- Lebih lambat dibandingkan bahasa pemrograman lain.

d.Pascal
adalah bahasa pemrograman yang pertama kali di buat oleh Profesor Niklaus Wirth, seorang anggota International Federation of Information Processing (IFIP) pada tahun 1971. Dengan mengambil nama dari matematikawan Perancis, Blaise Pascal, yang pertama kali menciptakan mesin penghitung, Profesor Niklaus Wirth membuat bahasa Pascal ini sebagai alat bantu untuk mengajarkan konsep pemrograman komputer kepada mahasiswanya. Selain itu, Profesor Niklaus Wirth membuat Pascal juga untuk melengkapi kekurangan-kekurangan bahasa pemrograman yang ada pada saat itu.
Bahasa Pascal, secara garis besar mempunyai struktur sebagai berikut :
1. Judul program,
2. Blok program yang terdiri dari :
a. Bagian deklarasi, meliputi :
- deklarasi label,
- deklarasi konstanta,
- deklarasi tipe,
- deklarasi variabel,
- deklarasi prosedur dan/atau fungsi.
b. Bagian pernyataan, berisi perintah-perintah.
Latihan Pascal : Perulangan dan Seleksi Kondisi I – 2

Kelebihan :
- Tipe Data Standar, tipe-tipe data standar yang telah tersedia pada kebanyakan bahasa pemrograman. Pascal memiliki tipe data standar: boolean, integer, real, char, string,
- User defined Data Types, programmer dapat membuat tipe data lain yang diturunkan dari tipe data standar.
- Strongly-typed, programmer harus menentukan tipe data dari suatu variabel, dan variabel tersebut tidak dapat dipergunakan untuk menyimpan tipe data selain dari format yang ditentukan.
- Terstruktur, memiliki sintaks yang memungkinkan penulisan program dipecah menjadi fungsi-fungsi kecil (procedure dan function) yang dapat dipergunakan berulang-ulang.
- Sederhana dan Ekspresif, memiliki struktur yang sederhana dan sangat mendekati bahasa manusia (bahasa Inggris) sehingga mudah dipelajari dan dipahami.
Kekurangan:
Tidak fleksibel penggunaannya.

referensi : http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_pemrograman

Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.
Teori Bilangan merupakan salah satu mata kuliah yang sangat familiar khususnya bagi mahasiswa yang mengambil jurusan atau pun program studi matematika. Dari namanya saja bisa kita amati bahwa hal-hal yang dipelajari dalam mata kuliah ini adalah mengenai dasar-dasar dari bilangan, yaitu berawal dari segala macam teori dari bilangan itu sendiri yang selanjutnya dapat digunakan dalam pendalaman materi matematika. Oleh karena itu, yang dasar ini harus benar-benar dikuasai agar dalam mempelajari matematika yang lebih tinggi tingkat kesulitannya tidak terlalu susah.

Sebenarnya, Teori Bilangan sudah kita gunakan dalam mempelajari matematika sejak dini, yaitu saat kita berada di bangku sekolah. Hanya saja mungkin kita tidak menyadari bahwa kita telah belajar tentang materi ini sebab di bangku sekolah kita hanya mengenal satu “matematika” saja. Sedangkan dalam matematika terdapat banyak cabangnya seperti geometri, aljabar, kalkulus termasuk juga Teori Bilangan. Lalu Teori Bilangan seperti apakah yang digunakan di SMA? Berikut ini akan kita kupas sedikit tentang Teori Bilangan untuk SMA.

Matematika identik dengan aksioma, teorema dan definisi serta tak lepas dari berbagai macam rumus. Dari definisi atau rumus pun diperlukan adanya pembuktian kebenarannya. Membuktikan kebenaran suatu definisi dan rumus ada berbagai macam cara dan salah satunya adalah dengan menggunakan Induksi Matematika. Seperti contoh berikut ini :

Terdapat pernyataan bahwa :

1 + 3 + 5 + … + ( 2n-1 ) = n2

Sebagai seorang matematika seharusnya kita tidak boleh langsung saja membenarkan pernyataan tersebut melainkan harus kita buktikan terlebih dahulu kebenarannya. Dengan menggunakan Induksi Matematika membuktikan kebenaran suatu pernyataan harus melalui prosedur sebagai berikut:

Memisalkan pernyataan tersebut. Misalkan pernyataan tersebut sebagai p(n) yaitu suatu proposisi yang berlaku untuk setiap bilangan asli n kemudian langkah selanjutnya adalah:

Langkah 1 : ditunjukkan bahwa p(1) benar

Langkah 2 : diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k>1, dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar.

Dengan Induksi Matematika langsung saja kita buktikan kebenaran dari pernyataan di atas.

Misalkan p(n) menyatakan 1 + 3 + 5 + … + ( 2n-1 ) = n2

Langkah 1:

p(1) adalah 1=12 , jelas benar

Langkah 2

Diasumsikan p(k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu 1 + 3 + 5 + … + ( 2k-1 ) = k2

Dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar yaitu 1 + 3 + 5 + … + ( 2k-1 )+ (2k+1)= (k+1)2

Hal ini ditunjukkan sebagai berikut :

1 + 3 + 5 + … + ( 2k-1 )+ (2k+1) = k2+2k+1 = (k+1)2

Sehingga p(k+1) benar. Sehingga p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

soal:
4n – 1 habis dibagi 3 untuk setiap bilangan bulat positif n >= 1.

Jawab:

Langkah 1 (Basic Step)

S(1) = benar

S(n) = S(1)

n = 1

jika U = 4n – 1, maka nilai U berubah menjadi

U = 41 – 1

U = 3

Dari soal “habis dibagi 3” maka dari langkah 1 “benar” karena

U/3 = 3/3 = 1

Langkah 2 (Induktif Step)

S(k) = benar

S(n) = S(k)

n = k

Jadi, U = 4n – 1

U = 4k – 1 ……………pers1

Lalu

S (k +1) = benar

S(n) = S (k + 1)

n = k + 1

maka;

U = 4n – 1

U = 4k+1 – 1

U = 41 x 4k – 1

U = 4 x 4k – 1 ……………pers2

UJI KEBENARAN

S(k) = 4k – 1 ………1

S(k + 1) = 4 x 4k – 1 ……….2

Dari kedua persamaan maka didapat nilai:

4 x 4k - 4k = 3 x 4k …………pers3

gabungkan persamaan 3 + 1

3 x 4k + 4k – 1 …………pers4

maka,

UJI KEBENARAN I dengan cara menggunakan persamaan 3 yang nilainya habis dibagi 3, artinya nilai harus bernilai 1.

3 x 4k / 3 = 1 x 4k

jadi, uji kebenaran I benar karena hasilnya bernilai 1

UJI KEBENARAN II dengan cara menjumlahkan persamaan 3 + 1 yang hasilnya bernilai sama dengan persamaan 2

persamaan 3 + 1 :

3 x 4k + 4k – 1

4 x 4k – 1

jadi, uji kebenaran II benar karena hasilnya sama dengan persamaan II

Langkah 3 (kesimpulan)

Dari semua percobaan yang dilakukan, langkah 1 sampai langkah ke -2 bernilai benar. Maka kesimpulan akhir adalah BENAR.

referensi : http://blog.math.uny.ac.id/finahanifahidayati/2009/08/04/38/